\include{defines}

\chapter{Warscheinlichkeitsrechnung}

	\section{Ereignisse und Warscheinlichkeiten}
		\subsection{Variation mit Wiederholung}
			\Bsp{n=2; k=3; M=\{a,b\}\\	
			aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bbb, bba} 
			\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
 			\sf\bf n\cdot n\cdot n\cdots n = n^k 
			\end{empheq}
			
		\subsection{Variation ohne Wiederholung}
			\Bsp{n=3; k=2; M=\{a,b,c\} \\	
			ab, ba, ac, ca, bc, cb}
			\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
 			n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k+1) = (n)_k = \frac{n!}{(n-k)!} 
			\end{empheq}
			
		\subsection{Spezieller Fall k=n Permutation}
			\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
 			\underbrace{n\cdot (n-1 )\cdot (n-2)\cdots 2 \cdot 1}_{n-Faktoren}=n! 			
			\end{empheq}  
		\subsection{Permutation mit Wiederholung}
			k-Tupel; $a_i$ kommt $s_i$ - mal vor\\
			$s_1+s_2+\ldots +s_n=k$(Wortlänge)\\
			\Bsp{$k=3; s_1=2; s_2=1; s_3=0; M=\{a,b,c\} $ \\	
			aab, aba, baa\\
			Wenn a != a 3! Möglichkeiten, aber da a=a wird um 2! reduziert $\rightarrow \frac{3!}{2!}$}
				\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
				\frac{k!}{s_1 ! \cdot s_2 ! \ldots \cdot s_n !} =\binom{k}{s_1 s_2 \cdots
				s_n}
				\end{empheq}
			  Spezieller Fall n=2 :			
			\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
			\frac{k!}{s_1 ! \cdot s_2 !} =\binom{k}{s_1 s_2 }=\frac{k!}{s_1 ! \cdot(k-s_1) !} =\binom{k}{s_1}=\binom{k}{s_2}
			\end{empheq}
		\subsection{Kombination (Anzal der k-elementigen Teilmengen von M)}
			Reihenfolge unwichtig! 
			\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
			\binom{n}{k}  \Rightarrow   \textnormal{begr\"undet durch Permutation mit Wiederholung}
			\end{empheq} 
			\Bsp{$k=2; M=\{a,b,c\} $\\	 
			\{a,b\};\{a,c\};\{b,c\}\\\\
			$\rightarrow \binom{3}{2}=3$}\\\\
			Man fragt nach Worten $110,101,011$ usw. aus Permutation mit Wiederholung
		\subsection{Kombination mit belibiger Anzahl von Wiederholungen}
			Reihenfolge unwichtig! \\
			\Bsp{$k=3; M=\{a,b\}$\\	 
			\{a,a,a\};\{a,a,b\};\{a,b,b\};\{b,b,b\}\\\\
			$\rightarrow \binom{2+3-1}{3}=\binom{4}{3}=4$}
			\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
			\binom{n+k-1}{k}
			\end{empheq}
		\subsection{BERNOULLI - Experimente}
		Warscheinlichkeit für i-Erfolge $(i=0,\cdots,n) $
		\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
		p_i=\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}
		\end{empheq}
		\Bsp{
		Viermaliges Werfen einer symmetischen Münze.\\
		$n=4, p=\frac{1}{2}, i=$Anzahl der Erfolge\\\\
		$p_i=\binom{4}{i}(\frac{1}{2})^i (\frac{1}{2})^{4-i}=\binom{4}{i}
		(\frac{1}{2})^4=\frac{1}{16}\binom{4}{i}$\\
		 \begin{tabular}{ |l|l|l|l|l|l| }
		    \hline
		    i & 0 & 1& 2& 3& 4 \\ \hline 
		    $p_i$ & $\frac{1}{16}$ &$\frac{4}{16}$ &$\frac{6}{16}$
		    &$\frac{4}{16}$&$\frac{1}{16} $
		    \\
		    \hline
		  \end{tabular}
		}
			
\section{Zufallsvariable und Verteilungen}
\subsection{Zufallsvariable}
Zufallsvariablen: $X,Y,Z,U,V,W$\\
$X:\Omega \rightarrow \R $
\subsubsection{Diskrete Zufallsvariable}
Wertebereich $\{x_1,\ldots,x_n\}$ oder $\{x_0,\ldots,x_n\}$ oder
$\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}$
\paragraph{Binomialverteilte Zufallsvariable (Anzahl der Erfolge)}
\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
P(X=i)=\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i} (o\leq i \leq n)
\end{empheq}
\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
E(X)=np \hspace{1em} V(X)=np(1-p)
\end{empheq}
\par
\paragraph{Hypergeometische Zufallsvariable}
\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
P(X=i)=\dfrac{\binom{M}{i}\binom{N-M}{n-i}}{\binom{N}{n}}(0\leq i \leq n)
\end{empheq}
\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
E(X)=n\frac{M}{N} \hspace{1em}
V(X)=\frac{N-n}{N-1}n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)
\end{empheq}
\par
\paragraph{Auf \{1,2,\ldots ,n\} gleichverteilte Zufallsvariable}
\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
P(X=i)=\frac{1}{n} (1\leq i \leq n)
\end{empheq}
\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
E(X)=n\frac{1}{2}(n+1) \hspace{1em}
V(X)=\frac{1}{12}(n^2 -1)
\end{empheq}
Spezieller Fall n=6 (Spielwürfel)
\par
\paragraph{Zufallsvariable mit Poisson-Verteilungsgesetz}
\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
P(X=i)=\dfrac{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda} (i=0,1,2,\ldots)
\end{empheq}
\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
E(X)=\lambda \hspace{1em}
V(X)=\lambda
\end{empheq}
\par




% \paragraph{Warscheinlichkeitsfunktion}$f$\\
% $f:I\rightarrow [0,1]$\\
% $f:i\rightarrow p_i$ \\
% das heißt: $f(i)=p_i=P(X=x_i)$\\
% $P(\Omega)=1 \Rightarrow \sum\limits_{i \in I}p_i =1 $
% \par
% \paragraph{Verteilungsfunktion} $F$\\
% $F:\R \rightarrow[0,1]$\\
% $F:x \rightarrow P(X \leq x)$ \\das heißt: $F(x)=P(X\leq x)$\\
% $F(x)=\sum\limits_{i=1}^{m(x)}p_i = \sum\limits_{i=1}^k p_i $ \\speziell:
% $F(x_k)=\sum\limits_{i=1}^{k}p_i$
% \par
\Bsp{
		Viermaliges Werfen einer symmetischen Münze.(BERNOULLI Schema)\\
		$n=4$, $p=\frac{1}{2}$, $1\ldots $ Erfolge, $X=$ Anzahl der Erfolge\\\\
		$\Omega =\{0000,0001,\ldots ,1111\}$\\
		$X:\Omega \rightarrow \R$\\
		$X:a_1a_2a_3a_4 \rightarrow a_1+a_2+a_3+a_4$\\
		Wertebereich: $\{0,1,2,3,4\}=I$\\
		$X(0011)=2$\\
		$p_i=\binom{n}{i}p^i (1-p)^{n-i}$\\
		$P(X = i)=\binom{4}{i} (\frac{1}{2})^4$\\
		
		 \begin{tabular}{ |l|l|l|l|l|l| }
		    \hline
		    i & 0 & 1& 2& 3& 4 \\ \hline 
		    $p_i$ & $\frac{1}{16}$ &$\frac{5}{16}$ &$\frac{11}{16}$
		    &$\frac{15}{16}$&$\frac{16}{16}$
		    \\
		    \hline
		  \end{tabular}
		  (Treppenfunktion)
		}
\subsubsection{Erwartungswert und Varianz}

\paragraph{Erwartungswert} $\mu $
\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
\mu = E(X)= \sum\limits_{i=1}^n x_i \cdot p_i
\end{empheq}
\par
\paragraph{Varianz} $\sigma$
\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
V(X)=\sum\limits_{i=1}^n (x_i -\mu )^2 \cdot p_i = E((X-\mu)^2)=E(X^2)-\mu^2
\end{empheq}
 $\sigma=\sqrt{V(X)} $ (Standardabweichung), $ \sigma ^2=V(X)$
\par
% \subsubsection{Stetige Zufallsvariable}
% Siehe Fragen, evtl. nicht relevant.
% In der Vorlesung gab es nur die Herleitung und den Beweis keine Anwendung, dazu
% siehe Papula ab Seite 315.
% \subsubsection{Mehrdimensionale Zufallsvariable}
% Es wurde in der Vorlesung nur ein Satz behandelt. (evtl. nicht relevant)

\section{Summen unabhängiger Zufallsvariablen}
\subsection{Gesetze der Großen Zahlen}
Es gab keine Übung hierzu wird nur in den folgenden Grenzwertsätzen benutzt.
(evtl. nicht relevant)
\subsection{Grenzwertsätze}
\paragraph{Globaler Grenzwertsatz}(Anwendung)\\
$X_1, X_2, \ldots$ unabhängig und identisch verteilt\\
$S_n=X_1+\ldots +X_n$ , $\mu=E(X_i)$ , $\sigma ^2=V(X_i)$ , ,$i=1,2,\ldots$ \\
Die Folge $S_n$ ist asymtotisch normalverteilt mit $E(S_n)=n\mu$ und
$\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ d.h. \\
\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
\lim\limits_{n \to \infty} P(\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}<t)=\Phi (t)
\end{empheq}
\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
P(\frac{M_n-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}<t)\simeq \Phi (t)
\end{empheq}
\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
\bar{X}=M_n=\frac{1}{n}S_n
\end{empheq}
\par
\paragraph{Zentraler Grenzwertsatz}(Anwendung)\\
			$X_1, X_2, \ldots$ unabhängig und identisch verteilt\\
			$S_n=X_1+\ldots +X_n$ , $\mu=E(X_i)$ , $\sigma ^2=V(X_i)$ , ,$i=1,2,\ldots$ \\
			Die Folge $S_n$ ist asymtotisch normalverteilt mit $E(S_n)=n\mu$ und
			$v(S_n)=n\sigma^2$ d.h. \\
			\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
			\lim\limits_{n \to \infty} P(\frac{S_n-n\mu}{\sqrt{n}\cdot \sigma}<t)=\Phi
			(t)
			\end{empheq}
			\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
			P(\frac{M_n-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}<t)\simeq \Phi (t)
			\end{empheq}
			\begin{empheq}[box=\mycolorbox]{align}
			\bar{X}=M_n=\frac{1}{n}S_n
			\end{empheq}
\par

\Bsp
{
Bernoulli-Schema vom Umfang n=100, Erfolgswarscheinlichkeit p=0,1. Man
berechne die Warscheinlichkeit für höchtens 12 Erfolge. \\

$ P(S_{100} \leq 12) \underbrace{=}_{\text{Standartisieren}}
P\left(\frac{S_{100} -10}{3} \leq \frac{2}{3}\right)\simeq \Phi (\frac{2}{3})
\simeq 0,75 $\\ $ \mu=E(S_{100}) = 100 \cdot 0,1 =10 $ \\ $ \sigma ^2 =V(S_{100})= 100 \cdot 0,1
\cdot 0,9 =9 $

 }
 
\par
